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已知奇函数f(x)的定义域为(-1,1),当x∈(0,1)时,
(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并证明之.
【答案】分析:(1)设-1<x<0,则0<-x<1,利用已知表达式求出f(-x),再由奇函数的性质可求f(x),f(0)=0,从而可得f(x)的解析式;
(2)任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,比较f(x2)与f(x1)的大小,若f(x2)>f(x1),则为增函数,若f(x2)<f(x1),则为减函数.
解答:解:(1)设-1<x<0,则0<-x<1,

又f(x)为奇函数,所以
由于奇函数f(x)的定义域为(-1,1),所以f(0)=0,
所以,f(x)=
(2)解:f(x)在(0,1)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2

因为y=2x在x∈R上递增,且0<x1<x2
所以
因此f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
故f(x)在(0,1)上单调递增.
点评:本题考查函数的奇偶性与单调性的综合,定义是解决有关问题的基本方法.
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12
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