三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=900,AB=BB1=1,直线B1C与平面ABC成300角,求二面角B-B1C-A的正弦值。
可以知道,平面ABC与平面BCC1B1垂直,故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。
解:由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1,过A作AN平面BCC1B1,垂足为N,则AN平面BCC1B1,(AN即为我们要找的垂线)在平面BCB1内过N作NQ棱B1C,垂足为Q,连QA,则NQA即为二面角的平面角。
∵AB1在平面ABC内的射影为AB,CAAB,∴CAB1A,AB=BB1=1,得AB1=。∵直线B1C与平面ABC成300角,∴B1CB=300,B1C=2,Rt△B1AC中,由勾股定理得AC=,∴AQ=1。在Rt△BAC中,AB=1,AC=,得AN=。
sinAQN==。即二面角B-B1C-A的正弦值为。
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科目:高中数学 来源:湖北省部分重点中学2010届高三第一次联考 题型:解答题
如图所示,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上。
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(2)当AB1⊥MN时,求二面角M—AB1—N的大小。
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