Question

已知函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_2nx²ⁿ（n∈N^*），且a₁，a₂，a₃，一组成等差数列{a_n}，又a₁=1，f（-1）=2n；
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=

1

an•an+1

，其前n项和为T_n，若T_n≥

m

6

对n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用赋值法求出数列的公差，进一步求出等差数列的通项公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步求出新数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用数列的单调性解决恒成立问题，求出参数的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：设数列{a_n}的公差为d，由f（-1）=2n，-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n=2n
即：nd=2n
解得：d=2
又由于a₁=1
所以：
a_n=a₁+2（n-1）=2n-1
（Ⅱ）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以：Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
整理得：Tn=

n

2n+1

所以：Tn=

1

2+ 1 n

随n的增大而增大．
当n=1时，T_n取得最小值T1=

1

3

根据题意：若T_n≥

m

6

对n∈N^*恒成立，
所以：

1

3

≥

m

6

对n∈N+恒成立
解得：m≤2
所以m_max=2

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于中等题型．