Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ） ，结合定义域讨论导数的正负求单调区间即可；

（Ⅱ）当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是.所以在上有零点的必要条件是，得，讨论和时函数单调性求解参数范围即可.

试题解析：

解：（Ⅰ）函数的定义域为，

.

由得或.

当时， 在上恒成立，

所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.

当时， 的变化情况如下表：

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

当时， 的变化情况如下表：

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

（Ⅱ）当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是.

所以在上有零点的必要条件是，

即，所以.

而，所以.

若， 在上是减函数， ， 在上没有零点.

若， ， 在上是增函数，在上是减函数，

所以在上有零点等价于，

即，解得.

综上所述，实数的取值范围是.