Question

已知△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足

PA

•

PC

=-7，则

|PB

|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：求得向量

BA

•

BC

=33，以及|

BA

+

BC

|=14，再由条件

PA

•

PC

=-7，运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到范围．

解答： 解：

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cosB=

1

2

×（7²+9²-8²）=33，
|

BA

+

BC

|=

BA 2+ BC 2+2 BA • BC

=

72+92+2×33

=14，
由

PA

•

PC

=-7，则（

PB

+

BA

）•（

PB

+

BC

）=-7，
即

PB

2+

PB

•（

BA

+

BC

）+

BA

•

BC

=-7，
|

PB

|²+|

PB

|•|

BA

+

BC

|cosθ+33=-7，
由-1≤cosθ≤1，可得-1≤

-40-| PB |2

14•| PB |

≤1，
解得，4≤|

PB

|≤10．
故答案为：[4，10]．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形中余弦定理的运用，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．