Question

已知以为周期的函数，其中。若方程

恰有5个实数解，则的取值范围为             

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y= 与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围。解：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入中得到，，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），则（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m ＞，同样由y=代入由△＜0可计算得 m＜ ，故可知m的范围

考点：函数与方程

点评：解决的关键是利用函数的周期性以及方程的解的运用，属于中档题。