精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
巳知函数f(x)=x2-2ax-2alnx(x>0,a∈R,g(x)=ln2x+2a2+
(1) 证明:当a>0时,对于任意不相等的两个正实数x1、x2,均有>f()成立;
(2) 记h(x)=
(i)若y=h′(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(ii)证明:h(x)≥
【答案】分析:(1)首先分别求出与f();然后通过作差法或基本不等式等知识比较两代数式中部分的大小;最后得出两代数式整体的大小.
(2)(i)首先求出h(x)及其导函数h′(x);然后根据y=h′(x)在[1,+∞)上单调递增,得y=h′(x)的导函数大于等于0恒成立,则利用分离参数的方法可得关于a的不等式a≥-x2+lnx-1(x≥1)恒成立;再运用导数法求出-x2+lnx-1的最大值,此时a≥[-x2+lnx-1]max即可.
(ii)首先把h(x)表示成a为主元的函数h(x)=a2-(x+lnx)a+(x2+ln2x)+;然后利用配方法得P(a)=a2-(x+lnx)a+(x2+ln2x)=(a-2+;再通过构造函数Q(x)=x-lnx,并由导数法求其最小值进而得P(a)的最小值;最后得h(x)的最小值,即问题得证.
解答:(1) 证明:由题意得,=-a(x1+x2)-aln(x1x2),
f()=-a(x1+x2)-2aln
=-a(x1+x2)-aln
-=>0(x1≠x2),∴   ①
又∵0<x1x2∴lnx1x2<ln
∵a>0∴-alnx1x2>-aln  ②
由①②知>f().
(2)(i)解:h(x)==x2-ax-alnx+ln2x+a2+
∴h′(x)=x-a-+
令F(x)=h′(x)=x-a-+,则y=F(x)在[1,+∞)上单调递增.
∴F′(x)=,则当x≥1时,x2-lnx+a+1≥0恒成立.
即x≥1时,a≥-x2+lnx-1恒成立.
令G(x)=-x2+lnx-1,则当x≥1时,G′(x)=<0.
∴G(x)=-x2+lnx-1在[1,+∞)上单调递减,从而G(x)max=G(1)=-2.
故a≥G(x)max=-2.即a的取值范围是[-2,+∞).
(ii)证明::h(x)=x2-ax-alnx+ln2x+a2+=a2-(x+lnx)a+(x2+ln2x)+
令P(a)=a2-(x+lnx)a+(x2+ln2x),则P(a)=(a-2+
令Q(x)=x-lnx,则Q′(x)=1-=
显然Q(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
则Q(x)min=Q(1)=1,则P(a)≥
故h(x)≥+=
点评:本题主要考查函数单调性与导数的关系及最值与导数的关系,同时考查了不等式知识、比较法等;特别是导数法的连续运用是本题的难点.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

巳知函数f(x)=2sinxcos(
3
2
π+x
)+
3
cosxsin(π+x)+sin(
π
2
+x) cosx

(1)求f(x)的值域;
(2)求f(x)的单调递增区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

巳知函数f(x)=x2-2ax-2alnx(x>0,a∈R,g(x)=ln2x+2a2+
1
2

(1)证明:当a>0时,对于任意不相等的两个正实数x1、x2,均有
f( x1)+f(x2
2
>f(
x1+x2
2
)成立;
(2)记h(x)=
f(x)+g(x)
2

    (i)若y=h′(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
    (ii)证明:h(x)≥
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

巳知函数f(x)=2sinxcos(数学公式)+数学公式
(1)求f(x)的值域;
(2)求f(x)的单调递增区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖南省张家界市高三联考数学试卷1(理科)(解析版) 题型:解答题

巳知函数f(x)=2sinxcos()+
(1)求f(x)的值域;
(2)求f(x)的单调递增区间.

查看答案和解析>>

同步练习册答案