Question

命题p：满足关于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一个；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．
（1）求命题p成立时a的取值范围；
（2））如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知可得不等式2x²-9x+a＜0的解集为A与不等式x²-4x+3＜0解集为B和不等式x²-6x+8＜0解集为C满足，A⊆B∪C，结合二次函数的图象和性质及集合之间包含关系的定义，可构造不等式组，进而求出命题p成立时a的取值范围；
（2）根据“p∧q”为假，“p∨q”为真，结合复合命题真值表可得p，q为一真一假，分类讨论后可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）设不等式2x²-9x+a＜0的解集为A（非空）
不等式x²-4x+3＜0解集为B=（1，3）
不等式x²-6x+8＜0解集为C=（2，4）
则B∪C=（1，4）
∵关于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一个
∴A⊆B∪C
∴

△=81-8a＞0 1＜ 9 4 ＜4 f(1)=a-7＞0 f(4)=a-4＞0

解得7＜a＜

81

8

即命题p成立时a的取值范围为（7，

81

8

）
（2）若命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R为真，则

a＞0 △=1-4a2＜0

，解得a＞

1

2

又∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，
∴p，q为一真一假
当p真q假时，

7＜a＜ 81 8 a≤ 1 2

，此时无满足条件的a值；

当p假q真时，

a≤7，或a≥ 81 8 a＞ 1 2

，解得

1

2

＜a≤7，或a≥

81

8

综上，实数a的取值范围为（

1

2

，7]∪[

81

8

，+∞）

点评：本题以复合函数的真假为载体考查了不等式的解法及集合关系的判断，其中解答二次不等式是解答本题的关键．