Question

（2006•西城区一模）已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，以C的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆方程为

（x-

5

）²+y²=4，

，若动点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，且|AB|=2，则线段AB中点的轨迹方程为

16x²+y²=4

．

Answer 1

分析：根据双曲线的方程，求出右焦点为F（

5

，0）．再求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式算出半径r=2，即可写出所求圆的标准方程；设出A（m，2m），AB中点为（x，y），可得B（2x-m，2y-2m）根据B点在直线2x+y=0上，算出m=x+

1

2

y，再利用两点的距离公式列式并消去参数m，化简得16x²+y²=4，即为线段AB中点的轨迹方程．

解答：解：∵双曲线C：

x2

4

-y2=1的a=2，b=1，渐近线方程为y=±

1

2

x
∴c=

a2+b2

=

5

，得右焦点为F（

5

，0）
∵圆C的圆心为右焦点F，且圆C与其渐近线2x±y=0相切
∴圆C的半径r=

|2 5 |

4+1

=2，可得圆C的方程为（x-

5

）²+y²=4
设A点在直线2x-y=0上，其坐标为（m，2m），
∵AB中点为（x，y），∴B（2x-m，2y-2m）
∵B点在直线2x+y=0上，
∴2（2x-m）+2y-2m=0，得m=x+

1

2

y
∵|AB|=2，得|AB|²=（2x-2m）²+（2y-4m）²=4
∴将m=x+

1

2

y代入上式，可得16x²+y²=4，即为线段AB中点的轨迹方程
故答案为：（x-

5

）²+y²=4，16x²+y²=4

点评：本题在双曲线中求满足条件的圆的方程，并求动点的轨迹方程．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、圆的标准方程和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．