Question

18．已知C${\;}_{2013}^{1006}$+C${\;}_{2013}^{1007}$=C${\;}_{n}^{\frac{n}{2}}$，（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，x∈R，n∈N^*，则$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$的值为（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由条件求得n=10，a₀=1，在所给的等式中，令x=1+$\frac{1}{2}$，可得1+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=0，即可求出$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$的值．

解答 解：∵C${\;}_{2013}^{1006}$+C${\;}_{2013}^{1007}$=C${\;}_{n}^{\frac{n}{2}}$，
∴n=2014，
∵（2x-3）ⁿ=（2x-3）²⁰¹⁴=[-1+2（x-1）]²⁰¹⁴=a₀+a₁（x-1）¹+…a_n（x-1）ⁿ，x∈R，n∈N，∴a₀=1．
在[-1+2（x-1）]²⁰¹⁴=a₀+a₁（x-1）¹+…a_n（x-1）ⁿ中，令x=1+$\frac{1}{2}$，可得1+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=0，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-1，
故选：A．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．