Question

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程；
（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点到直线的距离公式求出半径r，从而求得圆O的方程．
（2）用点斜式设出MN的方程为y=2x+b，由条件求出圆心O到直线MN的距离等于=1，由1=，
求出b的值，即可得到MN的方程．
（3）由题意可得|PA|•|PB|=|PO|² ，设点P（x，y），代入化简可得x²=y²+2．由点P在圆内可得 x²+y²＜4，可得0≤y²＜1．化简 =2（y²-1），从而求得的取值范围．
解答：解：（1）半径r==2，故圆O的方程为 x²+y²=4．
（2）∵圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，故MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数，等于2，
设MN的方程为y=2x+b，即2x-y+b=0．
由弦长公式可得，圆心O到直线MN的距离等于=1．
由点到直线的距离公式可得 1=，b=±，故MN的方程为2x-y±=0．
（3）圆O与x轴相交于A（-2，0）、B（2，0）两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
∴|PA|•|PB|=|PO|² ，设点P（x，y），
 则有 •=x²+y²，化简可得 x²=y²+2．
由点P在圆内可得 x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1．
∵=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
即的取值范围是[-2，0）．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，直线和圆的位置关系，两个向量的数量积的定义，属于中档题．