Question

已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=，
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)求∠F₁AF₂的角平分线所在直线l的方程；
(Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为，
由，即，a=2c，得b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆方程具有形式，
将A(2，3)代入上式，得解得c=2，
∴椭圆E的方程为。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F₁(-2，0)，F₂(2，0)，
所以直线AF₁的方程为，即3x-4y+6=0，
直线AF₂的方程为x=2，
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数，
设P(x，y)为l上任一点，则，
若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0(因其斜率为负，舍去)，
于是，由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0，
所以直线l的方程为2x-y-1=0．
(Ⅲ)假设存在这样的两个不同的点B(x₁，y₁)和C(x2，y2)，
，
∴，
设BC的中点为M(x₀，y₀)，则，
由于M在l上，故2x₀-y₀-1=0， ①
又B，C在椭圆上，所以有与，
两式相减，得，
即，
将该式写为，
并将直线BC的斜率k_BC和线段BC的中点表示代入该表达式中，
得，即3x₀-2y₀=0， ②
①×2-②得x₀=2，y₀=3，
即BC的中点为点A，而这是不可能的，
∴不存在满足题设条件的点B和C。