Question

已知椭圆过点D（1，），焦点为F₁，F₂，满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，P为椭圆上一点，且满足（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把点的坐标代入椭圆方程得到一个关于a，b的方程，由代入坐标后求出c的值，结合a²-b²=c²得到关于a，b的另一方程联立后可求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围．
解答：解：（Ⅰ）由已知过点，得，①
记c=，不妨设F₁（-c，0），F₂（c，0），则=（-c-1，-），=（c-1，-），
由，得c²=1，即a²-b²=1．②
由①、②，得a²=2，b²=1．
故椭的方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，．
，
∵，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
，
∵点P在椭圆上，∴．
∴16k²=t²（1+2k²），，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整数值为1．
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．