Question

已知双曲线

x2

2

-y2=1与射线y=

1

2

x（x≥0）公共点为P，过P作两条倾斜角互补且不重合的直线，它们与双曲线都相交且另一个交点分别为A，B（不同于P）．
（1）求点P到双曲线两条渐近线的距离之积；
（2）设直线PA斜率为k，求k的取值范围；
（3）求证直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析：（1）由

x2 2 -y2=1 y= 1 2 x(x≥0)

，得P（2，1），双曲线

x2

2

-y2=1的渐近线方程是

2

x-2y=0和

2

x+2y=0，由此能求出点P到双曲线两条渐近线的距离之积．
（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为kx-y+1-2k=0，由

x2 2 -y2=1 kx-y+1-2k=0

，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，由直线PA与双曲线

x2

2

-y2=1有两个交点，知△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，由此能求出k的取值范围．
（3）P（2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设PPA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，分别与双曲线方程联立，得（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，由2是方程的一个根，知x1=

8m2-4m

2m2-1

-2，同理，x2=

8m2+4m

2m2-1

-2，所以x1-x2=

8m

1-2m2

，由y1=m(

8m2-4m

2m2-1

-4)+1，y2=-m(

8m2+4m

2m2-1

-4)+1，所以y₁-y₂=

8m

2m2-1

，由此能够证明直线AB的斜率为定值-1．

解答：解：（1）由

x2 2 -y2=1 y= 1 2 x(x≥0)

，得P（2，1），
双曲线

x2

2

-y2=1的渐近线方程是

2

x-2y=0和

2

x+2y=0，
点P（2，1）到两条渐近线

2

x-2y=0和

2

x+2y=0的距离分别是
d1=

|2 2 -2|

6

和d2=

|2 2 +2|

6

，
∴点P到双曲线两条渐近线的距离之积
d₁d₂=

8-4

6

=

2

3

．
（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为：y-1=k（x-2），
即kx-y+1-2k=0，
由

x2 2 -y2=1 kx-y+1-2k=0

，消去y，并整理，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，
∵直线PA与双曲线

x2

2

-y2=1有两个交点，
∴△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，
即k²-2k+1＞0，
∴k≠1．
故k的取值范围是（-∞，1）∪（1，+∞）．
（3）∵P（2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵PA和PB是两条倾斜角互补且不重合的直线，
设PA斜率是m，则PB斜率是-m
则PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，
分别与双曲线方程联立，得

x12

2

-(mx1-2m+1)2=1，
（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，
∵2是方程的一个根，
∴x1=

8m2-4m

2m2-1

-2，
同理，x2=

8m2+4m

2m2-1

-2，
∴x1-x2=

8m

1-2m2

，
∵y1=m(

8m2-4m

2m2-1

-4)+1，
y2=-m(

8m2+4m

2m2-1

-4)+1，
∴y₁-y₂=

8m

2m2-1

，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

8m 2m2-1

8m 1-2m2

=-1．
即直线AB的斜率为定值-1．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．