Question

已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c
（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{a_n }，且它们的和为2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S₁，S₂，S₃，…S_n，且，求满足不等式的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{X_n}满足（n∈N⁺），证明：数列{ }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X_n是正整数．

Answer 1

（1）解：{a_n}是等差数列，∴，即a+b=2．
所以=，
所以c的最小值为；
（2）解：设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a²+（a+d）²=（a+2d）²
∴a=3d．
设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积，则，
T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+S_2n
=6[-1²+2²-3²+4²-…+（2n）²]
=6（1+2+3+4+…+2n）=12n²+6n．
由得，
当n≥5时，＞，
经检验当n=2，3，4时，，当n=1时，．
综上所述，满足不等式的所有n的值为2、3、4．
（3）证明：因为a，b，c成等比数列，∴b²=ac．
由于a，b，c为直角三角形的三边长，知a²+ac=c²，∴，
又，得，
于是
=．
∴X_n+X_n+1=X_n+2，则有．
故数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形．
因为
，
，
?，
由X_n+X_n+1=X_n+2，同理可得，?X_n+2∈N^*，
故对于任意的n∈N^*都有X_n是正整数．
分析：（1）由等差数列的前2013项的和求出a+b的值，利用勾股定理写出c²=a²+b²，然后利用基本不等式求c的最小值；
（2）设出三角形三边的公差，由勾股定理求得三边与公差的关系，把面积用公差表示，则S_n可求，把S_n代入
T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+S_2n后，先裂项后利用等差数列求和公式求和，得到T_n后结合二项展开式的系数和取值验证求得满足不等式的所有n的值；
（3）由a，b，c成等比数列，结合直角三角形中边的关系求出，代入后整理，进一步得到，由此可证数列{ }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X_n是正整数．
点评：本题以直角三角形边的关系为载体，考查了等差数列的前n项和公式，考查了利用基本不等式求最值，考查了用裂项法求数列的和，训练了利用二项展开式的二项式系数比较不等式的大小，此题综合性强，难度较大．