Question

20．若曲线x²+y²+a²x+（1-a²）y-4=0关于直线y=x对称的曲线仍是其本身，则实数a为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$或$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意可得曲线的中心（-$\frac{{a}^{2}}{2}$，-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$）在直线y=x上，故有-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$，由此求得a的值．

解答 解：曲线x²+y²+a²x+（1-a²）y-4=0，即曲线（x+$\frac{{a}^{2}}{2}$）²+（y+$\frac{{1-a}^{2}}{2}$）² =$\frac{{2a}^{4}-{2a}^{2}+17}{4}$，
∵曲线x²+y²+a²x+（1-a²）y-4=0关于直线y=x对称的曲线仍是其本身，
故曲线的中心（-$\frac{{a}^{2}}{2}$，-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$）在直线y=x上，故有-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$，求得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查圆的一般方程，判断曲线的中心（-$\frac{{a}^{2}}{2}$，-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$）在直线y=x上，是解题的关键，属于中档题．