Question

5．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G是线段BE的中点，点F在线段CD上且GF∥平面ADE．
（1）求证：BE⊥EF；
（2）求CF长．

Answer 1

分析 （1）由已知可证DC⊥BE，BE⊥EC，可证BE⊥平面ECD，从而证明BE⊥EF；
（2）在平面BEC内，过点B作BQ∥CE，以B为原点，分别以$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{BA}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则可求A，B，C，D，E，G的坐标，设坐标F（2，2，z），则可求$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{GF}$的坐标，设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ADE的法向量．由$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2x-2z=0}\end{array}\right.$，可解得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），由$\overrightarrow{GF}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得：1×1+2×（-1）+a×1=0，解得F（2，2，1），利用两点间距离公式即可得解．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE?平面BEC，
∴DC⊥BE，
∵BE⊥EC，
∵DC∩EC=C，
∴BE⊥平面ECD，
∵EF?平面ECD，
∴BE⊥EF；
（2）如图，在平面BEC内，过点B作BQ∥CE，
∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，
又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，
以B为原点，分别以$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{BA}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（0，0，0），C（2，2，0），D（2，2，2），E（2，0，0），G（1，0，0），设坐标F（2，2，z），
则$\overrightarrow{AD}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{GF}$=（1，2，a），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ADE的法向量．由$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2x-2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，可解得：y=-1，z=1，
故$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
由$\overrightarrow{GF}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得：1×1+2×（-1）+a×1=0，解得：a=1，即可得：F（2，2，1），
故：CF=$\sqrt{（2-2）^{2}+（2-2）^{2}+（1-0）^{2}}$=1．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面平行及线面角等立体几何问题的方法，线面垂直的判定定理及性质，平面法向量的概念及求法，线面平行时，直线和平面的法向量垂直，向量垂直的充要条件，以及线面角的定义及求法，弄清线面角和直线的方向向量和平面法向量夹角的关系．