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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		6
    3
    ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
    5
    		2
    3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
    ①若线段AB中点的横坐标为-
    1
    2
    ，求斜率k的值；
    ②已知点M(-
    7
    3
    ，0)    ，求证：
    MA
    •
    MB
    为定值．
    （1）因为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    满足a2=b2+c2，
    c
    a
    =
    		6
    3
    ，…（2分）
    根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
    5
    		2
    3
    ，可得
    1
    2
    ×b×2c=
    5
    		2
    3
    ．
    从而可解得a2=5，b2=
    5
    3
    ，
    所以椭圆方程为
    x2
    5
    +
    y2
    5
    3
    =1    …（4分）
    （2）证明：①将y=k（x+1）代入
    x2
    5
    +
    y2
    5
    3
    =1    中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（6分）
    △=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
    6k2
    3k2+1
    …（7分）
    因为AB中点的横坐标为-
    1
    2
    ，所以-
    3k2
    3k2+1
    =-
    1
    2
    ，解得k=±
    		3
    3
    …（9分）
    ②由①知x1+x2=-
    6k2
    3k2+1
    ，x1x2=
    3k2-5
    3k2+1

    所以
    MA
    •
    MB
    =(x1+
    7
    3
    ，y1)(x2+
    7
    3
    ，y2)=(x1+
    7
    3
    )(x2+
    7
    3
    )+y1y2    …（11分）
    =(x1+
    7
    3
    )(x2+
    7
    3
    )+k2(x1+1)(x2+1)    =(1+k2)x1x2+(
    7
    3
    +k2)(x1+x2)+
    49
    9
    +k2    …（12分）
    =(1+k2)
    3k2-5
    3k2+1
    +(
    7
    3
    +k2)(-
    6k2
    3k2+1
    )+
    49
    9
    +k2    =
    -3k4-16k2-5
    3k2+1
    +
    49
    9
    +k2    =
    4
    9
    …（14分）
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆M：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		3
    2
    ，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
    （Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
    （Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求
    |PQ|
    |ST|
    的最大值及取得最大值时m的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆的方程为：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，其中a2=4c，直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知点M是曲线C上任一点，点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
    （1）求曲线C的方程；
    （2）过点P（0，2）的直线L交曲线C于A、B两点，若以AB为直径的圆经过原点O，求直线L的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    AB是过抛物线x2=y的焦点一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度为（　　）
    A．
    5
    2
    		B．
    5
    4
    		C．2D．3

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    设直线y=x+1与椭圆
    x2
    2
    +y2=1    相交于A，B两点，则|AB|=______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，点F是椭圆W：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
    1
    2
    ，三角形ABF的面积为
    3
    		3
    2
    ，
    （Ⅰ）求椭圆W的方程；
    （Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
    （Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N（M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    椭圆
    x2
    16
    +
    y2
    9
    =1    的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆的面积为π．A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2-y1|的值为______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知直线与椭圆
    x2
    9
    +
    y2
    4
    =1    交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于______．

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