Question

9．已知定义域为R的函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足，a₁=2，$（{{a_{n+1}}-{a_n}}）g（{a_n}）+f（{a_n}）=0\;（{n∈{N^*}}）$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最值及相应的n．

Answer 1

分析 （1）先根据f（x）和g（x）的解析式化简，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0），得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，再用构造法求出数列{a_n}的通项公式，；
（2）根据f（x）和g（x）的解析式及数列{a_n}的通项公式化简b_n，再用二次函数求极值的方法求出数列{b_n}的最值及相应的n．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），
数列{a_n}满足，$（{{a_{n+1}}-{a_n}}）g（{a_n}）+f（{a_n}）=0\;（{n∈{N^*}}）$，
可得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0，
∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0
∴a_n+1-1=$\frac{3}{4}$（a_n-1），a₁-1=1，
∴数列{a_n-1}是首项为1，公比为$\frac{3}{4}$的等比数列，
∴a_n-1=（$\frac{3}{4}$）^n-1，即a_n=（$\frac{3}{4}$）^n-1+1；
（2）b_n=3f（a_n）-g（a_n）=3[（$\frac{3}{4}$）^n-1]²-4[（$\frac{3}{4}$）^n-1]，
令t=（$\frac{3}{4}$）^n-1，则y=3t²-4t=3（t-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，
∵n∈N^*，
∴t的值分别为1，$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{16}$，经比较$\frac{3}{4}$比较接近$\frac{2}{3}$，
∴当n=2时，b_n有最小值是-$\frac{21}{16}$，当n=1时，b_n有最大值是-1．

点评 本题以函数为载体，考查数列知识，考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．