Question

8．已知数列{a_n}中，a_n+2=a_n+3，且a₁=1，a₂=2，若b_n=$\frac{9}{{（a}_{2n-1}+2）{（a}_{2n}+4）}$，则数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}中，奇数项为以1为首项，公差为3的等差数列；偶数项为以2为首项，公差为3的等差数列．即有a_2n-1=1+3（n-1）=3n-2，a_2n=2+3（n-1）=3n-1．化简b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：a_n+2=a_n+3，且a₁=1，a₂=2，
可得a_n+2-a_n=3，
即有数列{a_n}中，奇数项为以1为首项，公差为3的等差数列；
偶数项为以2为首项，公差为3的等差数列．
即有a_2n-1=1+3（n-1）=3n-2，
a_2n=2+3（n-1）=3n-1．
则b_n=$\frac{9}{{（a}_{2n-1}+2）{（a}_{2n}+4）}$=$\frac{9}{3n•3（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有前n项和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．