Question

（2008•嘉定区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角的大小为arctan2，M为PA的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求异面直线BM与PC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）先根据PA⊥平面ABCD以及PC与平面ABCD所成角的大小为arctan2，求出PA=4；再求出下底面面积即可求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）连接BD，交AC于点O，连接MO可得MO∥PC；所以∠BMO（或其补角）为异面直线BM与PC所成的角；然后在△BMO是直角三角形求得∠BMO即可．

解答：（本题满分（14分），第1小题（6分），第2小题8分）
解：（1）连接AC，因为PA⊥平面ABCD，
所以∠PCA为PC与平面ABCD所成的角…（2分）
由已知，tan∠PCA=

PA

AC

=2，而AC=2，
所以PA=4．…（3分）
底面积S=2•2•sin600=2

3

，…（4分）
所以，四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

Sh=

1

3

•2

3

•4=

8 3

3

．…（6分）
（2）连接BD，交AC于点O，连接MO，
因为M、O分别为PA、AC的中点，所以MO∥PC，
所以∠BMO（或其补角）为异面直线BM与PC所成的角．…（8分）
在△BMO中，BO=

3

，BM=2

2

，MO=

5

，…（10分）
（以下由余弦定理，或说明△BMO是直角三角形求得）
∠BMO=arcsin

6

4

或arccos

10

4

或arctan

15

5

．…（13分）
所以，异面直线BM与PC所成角的大小为arcsin

6

4

（或另外两个答案）．…（14分）

点评：本题主要考查棱锥的体积计算以及异面直线及其所成的角．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．