Question

f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²．若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t 的取值范围．

Answer 1

分析：由当x≥0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（

2

x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答：解：f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x），
又∵函数在定义域R上是增函数
故问题等价于当x属于[t，t+2]时 
x+t≥

2

x恒成立?(

2

-1)x-t≤0恒成立，
令g（x）=(

2

-1)x-t，
g（x）_max=g（t+2）≤0
解得t≥

2

．
∴t 的取值范围t≥

2

．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．