Question

已知双曲线M：和双曲线N：，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：根据双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，得交点坐标为：（c，c），其中c是两个双曲线公共的半焦距．将点（c，c）代入双曲线M（或双曲线N）的方程，结合b²=c²-a²化简整理，得e⁴-3e²+1=0，解之得e²==（）²，从而得到双曲线M的离心率e=．
解答：∵双曲线M方程为：，双曲线N方程为：，其中b＞a＞0，
∴两个双曲线的焦距相等，设为个焦距为2c，其中c满足：
∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，
∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得
，结合b²=c²-a²得：，
去分母，得c²（c²-a²）-a²c²=a²（c²-a²），
整理，得c⁴-3a²c⁴+a⁴=0，所以e⁴-3e²+1=0，解之得e²==（）²（另一值小于1舍去）
∴双曲线M的离心率e=
故选A
点评：本题给出两个形状相同，但焦点分别在x、y上的双曲线，它们的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质与基本概念，属于中档题．