Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且∠ADC=arcsin

5

5

，又PA⊥平面ABCD，AD=3AB=3PA=3a，
（I）求二面角P-CD-A的正切值；
（II）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连接PE，易得∠PEA是二面角P-CD-A的平面角，在Rt△PAE中求出此角的正切值；
（2）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H，可证得AH的长即为点A到平面PBC的距离，在等腰直角三角形PAB中解出AH即可．

解答：解：（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连接PE，
∵PA⊥平面ABCD，易证PE⊥CD，
∵∠PEA是二面角P-CD-A的平面角，
在Rt△AED中，AD=3a，∠ADE=arcsin

5

5

，
∴AE=AD•sin∠ADE=

3 5

5

a，
在Rt△PAE中，tan∠PEA=

PA

AE

=

5

3

，
∴二面角P-CD-A的正切值为

5

3

；

（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB，
∴AH⊥平面PBC，
故AH的长即为点A到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中，AH=

2

2

a，
所以点A到平面PBC的距离为

2

2

a．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．