Question

10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为AB，A₁D₁的中点．
（1）求证：MN∥平面A₁BC₁；
（2）求三棱锥B₁-A₁BC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）取A₁C₁的中点E，连接NE，BE，证明NEBM是平行四边形，可得MN∥BE，即可证明MN∥平面A₁BC₁；
（2）转换底面求三棱锥B₁-A₁BC₁的体积．

解答 （1）证明：取A₁C₁的中点E，连接NE，BE，则
∵M，N分别为AB，A₁D₁的中点，
∴NE平行且等于MB，
∴NEBM是平行四边形，
∴MN∥BE，
∵MN?平面A₁BC₁，BE?平面A₁BC₁，
∴MN∥平面A₁BC₁；
（2）解：三棱锥B₁-A₁BC₁的体积=三棱锥B-A₁B₁C₁的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查三棱锥B₁-A₁BC₁的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．