Question

如图，设抛物线C：y=x²的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．
（1）求△APB的重心G的轨迹方程．
（2）证明∠PFA=∠PFB．

Answer 1

分析：（1）设出A、B坐标，写出切线PA、PB方程，得到点P坐标，利用三角形重心坐标公式求重心G坐标．
（2）利用两个向量的夹角公式计算cos∠AFP和cos∠BFP相等，从而得到∠AFP=∠PFB．
方法2：利用P点到直线AF的距离和P点到直线BF的距离相等，可得FP 是AF和BF角平分线，故∠AFP=∠PFB．

解答：解：（1）设切点A、B坐标分别为（x₀，x₀²）和（x₁，x₁²）（（x₁≠x₀），
∴切线AP的方程为：2x₀x-y-x₀²=0；切线BP的方程为：2x₁x-y-x₁²=0．
解得P点的坐标为：x_P=

x0+x1

2

，y_P=x₀x₁．
所以△APB的重心G的坐标为，y_G=

y0+y1+yP

3

=

x 2 0 + x 2 1 +x0x1

3

=

(x0+x1)2-x0x1

3

=

4xP2-yp

3

，
所以y_p=-3y_G+4x_G²．
由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x-（-3y+4x²）-2=0，即y=

1

3

（4x²-x+2）．
（2）方法1：因为

FA

=（x₀，x₀²-

1

4

），

FP

=（

x0+x1

2

，x₀x₁-

1

4

），

FB

=（x₁，x₁²-

1

4

）．
由于P点在抛物线外，则|

FP

|≠0．
∴cos∠AFP=

FP • FA

| FP || FA |

=

x0+x1 2 •x0+(x0x1- 1 4 )(x02- 1 4 )

| FP | x02+(x02- 1 4 )2

=

x0x1+ 1 4

| FP |

，
同理有cos∠BFP=

FP • FB

| FP || FB |

=

x0+x1 2 •x1+(x0x1- 1 4 )(x12- 1 4 )

| FP | x12+(x12- 1 4 )2

=

x0x1+ 1 4

| FP |

，
∴∠AFP=∠PFB．
方法2：①当x₁x₀=0时，由于x₁≠x₀，不妨设x₀=0，则y₀=0，所以P点坐标为（

x1

2

，0），
则P点到直线AF的距离为：d₁=

|x1|

2

．
而直线BF的方程：y-

1

4

=

x 2 1 - 1 4

x1

x，即（x₁²-

1

4

）x-x₁y+

1

4

x1=0-0．
所以P点到直线BF的距离为：d₂=

|( x 2 1 - 1 4 ) x1 2 + x1 4 |

( x 2 1 - 1 4 )2+(x1)2

=

( x 2 1 + 1 4 ) |x1| 2

x 2 1 + 1 4

=

|x1|

2

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB．
②当x₁x₀≠0时，直线AF的方程：y-

1

4

=

x 2 0 - 1 4

x0-0

（x-0），即（x₀²-

1

4

）x-x₀y+

1

4

x0=0，
直线BF的方程：y-

1

4

=

x 2 1 - 1 4

x1-0

（x-0），即（x₁²-

1

4

）x-x₁y+

1

4

x1=0，
所以P点到直线AF的距离为：d₁=

|( x 2 0 - 1 4 )( x0+x1 2 )-x02x1+ 1 4 x0|

( x 2 0 - 1 4 )2+x02

=

|( x0-x1 2 )(x02+ 1 4 )|

x02+ 1 4

=

|x1-x0|

2

，
同理可得到P点到直线BF的距离d₂=

|x1-x0|

2

，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB．

点评：方法一利用两个向量的夹角公式，方法二利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上，分两种情况讨论，
方法一比方法二简单，属于中档题．