Question

【题目】若正项数列的首项为，且当数列是公比为的等比数列时，则称数列为“数列”.

（1）已知数列的通项公式为，证明：数列为“数列”；

（2）若数列为“数列”，且对任意，、、成等差数列，公差为.

①求与间的关系；

②若数列为递增数列，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.

【解析】

（1）根据数列的通项公式得出，，结合题中定义可得出结论；

（2）①根据数列为“数列”，可求得，再由、、成等差数列可得出，由此计算出，即可得解；

②推导出，利用累加法可分别求出和的表达式，根据数列为递增数列可得出对恒成立，由此可求得的取值范围.

（1），且，，，

所以，数列的首项为且是公比为的等比数列，故为“数列”；

（2）①数列为“数列”，，，

而、、成等差数列，，

；

②由①知，，，，，

所以，数列的奇数项与偶数项分别递增，

，

，

，，

，

因为，数列单调递增，对恒成立，

，

故的取值范围为.