Question

已知f（x）=ln

1+x

1-x

．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；    
（2）判断f（x）单调性并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）为奇函数．运用奇偶性的定义，先求出定义域，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得证；
（2）f（x）在（-1，1）上单调递增．运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．

解答： 解：（1）f（x）为奇函数．
理由如下：由

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
则定义域关于原点对称，
f（-x）+f（x）=ln

1-x

1+x

+ln

1+x

1-x

=ln1=0，
即f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（-1，1）上单调递增．
理由如下：可令-1＜m＜n＜1，
则f（m）-f（n）=ln

1+m

1-m

-ln

1+n

1-n

=ln

1+m-n-mn

1+n-m-mn

而

1+m-n-mn

1+n-m-mn

-1=

2(m-n)

(1-m)(1+n)

＜0，
则f（m）-f（n）＜ln1=0，
即有f（m）＜f（n），
则f（x）在（-1，1）上单调递增．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．