已知三点P(1,2),Q(2,1),R(3,2),过原点作一直线,使得点P,Q,R到此直线的距离的平方和最小,求此直线方程.
【答案】
分析:①当直线的斜率存在时,由题意,可设所求直线方程为y=kx,利用点到直线的距离公式可得点P,Q,R到直线的距离平方和t=
,即(t-14)k
2+20k+(t-9)=0,对t分类讨论;即可得出t的最小值;
②当直线的斜率不存在时,直线为y轴,3点到y轴的距离的平方和为14,不是最小值.
解答:解:①当直线的斜率存在时,由题意,可设所求直线方程为y=kx,
设点P,Q,R到直线的距离平方和为t,则t=
=
,即(t-14)k
2+20k+(t-9)=0,
当t=14时,
;当t≠14时,由△≥0,可得
.
②当直线的斜率不存在时,直线为y轴,3点到y轴的距离的平方和为14,不是最小值.
综上可知:t的最小值为
,此时k=
.
故直线的方程为
.
点评:熟练掌握直线的方程、点到直线的距离公式、一元二次方程与判别式的关系、分类讨论的思想方法等是解题的关键.