Question

(本小题满分14分) 设函数.
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） ，整数的最大值为3 .

（1）当时，由导数的几何意义求出
写出切线方程；
（2）当，函数在上是增函数，只需在 上恒成立，可利用二次函数的性质直接求在上最小
值大于或等于0，关键是讨论对称轴与区间的关系；也可以分离参数求最值；
（3）当，易得函数在上递增，要证，只需证，构造，研究单调性求其最小值，只需。
的最大值为3 .
解：（Ⅰ）当时， 所以 即切点为 
因为所以  
所以切线方程为  即
（Ⅱ）y=f(x)在[－1，1]上单调递增，又 
方法一：（求函数的最值，即二次函数的动轴定区间最值）依题意在[－1，1]上恒有≥0，即 
①当；所以舍去；
②当； 所以舍去；
③当 
综上所述，参数a的取值范围是。
方法二：（分离参数法）
（Ⅲ）
由于，所以
所以函数在上递增
所以不等式对恒成立
构造       
构造     
对 ， 所以在递增

所以,
所以,所以在递减
,所以在递增
所以,结合得到
 
所以对恒成立， 所以 ，整数的最大值为3