Question

（2011•崇明县二模）设函数f（x）=x²+1，若关于x的不等式f（

x

m

）+4f（m）≤4m²f（x）+f（x-1）对任意x∈[

3

2

，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是

（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：先把原不等式整理后转化为g（x）=（-

1

m2

+4m²+1）x²-2x-3≥0对任意x∈[

3

2

，+∞）恒成立，再利用二次函数恒成立的求解方法即可求实数m的取值范围．

解答：解：原不等式不等式f（

x

m

）+4f（m）≤4m²f（x）+f（x-1）整理得g（x）=（-

1

m2

+4m²+1）x²-2x-3≥0，
即可以转化为g（x）=g（x）=（-

1

m2

+4m²+1）x²-2x-3≥0对任意x∈[

3

2

，+∞）恒成立．
由于函数g（x）开口向上，对称轴小于等于

3

2

，所以在x∈[

3

2

，+∞）上递增．
故只须g（

3

2

）≥0⇒-

1

m2

+4m²-

5

3

≥0⇒12（m²）²-5m²-3≥0⇒m²≥

3

4

或m²≤-

1

3

⇒m≥

3

2

或m≤-

3

2

．
故答案为：（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．