Question

17．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x≤1}\\{\frac{2}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，则f（f（3））=$\frac{13}{9}$，方程f（f（x））=$\frac{1}{4}$的解集为-$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x≤1}\\{\frac{2}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，将x=3代入可得f（f（3）），再由f（f（x））=$\frac{1}{4}$，可求出满足条件的x值．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x≤1}\\{\frac{2}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，
∴f（f（3））=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{13}{9}$，
∵f（f（x））=$\frac{1}{4}$＜2，
∴f（x）＞1，
则$\frac{2}{f（x）}=\frac{1}{4}$，
故f（x）=8，
∵f（x）=8＞2，
故x≤1，
故x²+1=8，
解得：x=-$\sqrt{7}$
故答案为：$\frac{13}{9}$，{-$\sqrt{7}$}

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档．