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8.△ABC中,已知AB=a(a是正常数),∠BAC=$\frac{π}{3}$,设AC=x (x>0).
(1)当BC>$\sqrt{7}$a时,求x的取值范围(用a表示);
(2)若对任意正数x,BC>1恒成立,求a的取值范围.

分析 利用余弦定理表示三边关系,然后配方变形,解不等式,求最值.

解答 解:(1)由已知结合余弦定理得到a2+x2-2axcos$\frac{π}{3}$>7a2,即a2+x2-ax>7a2,整理得(x-$\frac{a}{2}$)2>$\frac{25}{4}{a}^{2}$,x>0,解得,x>3a,
所以当BC>$\sqrt{7}$a时,x的取值范围是(3a,+∞);
(2)同理由对任意正数x,BC>1恒成立,得到a2+x2-2axcos$\frac{π}{3}$>1恒成立,所以(x-$\frac{a}{2}$)2>1-$\frac{3}{4}{a}^{2}$恒成立,因为(x-$\frac{a}{2}$)2≥0,所以只要1-$\frac{3}{4}{a}^{2}$<0,解得a>$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
所以对任意正数x,BC>1恒成立,a的取值范围是($\frac{2\sqrt{3}}{3}$,+∞).

点评 本题考查了解三角形,用到了余弦定理,一元二次不等式的解法和恒成立问题的处理.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.某中学调查了某班全部50名同学参加数学兴趣小组和物理兴趣小组的情况,数据如下表:(单位:人)
参加数学兴趣小组不参加数学兴趣小组
参加物理兴趣小组710
不参加物理兴趣小组726
(Ⅰ)从该班随机选一名同学,求该同学至少参加上述一个兴趣小组的概率;
(Ⅱ)在既参加数学兴趣小组,又参加物理兴趣小组的7名同学中,有4名男同学A,B,C,D,3名女同学a,b,c,现从这4名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A被选中且a未被选中的概率.

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科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.已知复数z=a+4i,且$\frac{z}{z+b}$=4i,其中a,b∈R,则b=(  )
A.-16B.1C.16D.17

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14.已知函数f(x)=$\sqrt{|x+1|+|x+2|-5}$的定义域为集合A.
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)设集合B={x|-1<x<2},当实数a,b∈B∩(∁RA)时,求证:$\frac{|a+b|}{2}$<|1+$\frac{ab}{4}$|.

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3.已知函数f(x)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-cos2x,x∈R.
(1)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=$\sqrt{3}$,f(C)=0,若向量$\overrightarrow{m}$=(1,sinA)与向量$\overrightarrow{n}$=(2,sinB)共线,求△ABC的面积.

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13.f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R,a≠0),f(-2)=f(0)=0,f(x)的最小值为-1,
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(-x)-mf(x)+1,若g(x)在[-1,1]上是减函数,求实数m的范围;
(3)设h(x)=log2[n-f(x)],若此函数不存在零点,求n的范围.

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20.下列推理正确的是(  )
A.把a(b+c)与lg(x+y)类比,则lg(x+y)=lgx+lgy
B.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则sin(x+y)=sinx+siny
C.把a(b+c)与ax+y类比,则ax+y=ax+ay
D.把a(b+c)与$\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})类比,则\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$

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17.下列命题中的真命题有(  )
①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有5次出现正面,因此,出现正面的概率是$\frac{5}{9}$;
②盒子中装有大小均匀的3个红球,3个黑球,2个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;
③从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同;
④分别从2名男生,3名女生中各选一名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同.
A.0个B.1个C.2个D.3个

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18.顺次列出的规律相同的20个数中的前四个数依次是2×1-1,2×2-1,2×3-1,2×4-1,第15个数是(  )
A.15B.29C.16D.31

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