Question

8．△ABC中，已知AB=a（a是正常数），∠BAC=$\frac{π}{3}$，设AC=x （x＞0）．
（1）当BC＞$\sqrt{7}$a时，求x的取值范围（用a表示）；
（2）若对任意正数x，BC＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示三边关系，然后配方变形，解不等式，求最值．

解答 解：（1）由已知结合余弦定理得到a²+x²-2axcos$\frac{π}{3}$＞7a²，即a²+x²-ax＞7a²，整理得（x-$\frac{a}{2}$）²＞$\frac{25}{4}{a}^{2}$，x＞0，解得，x＞3a，
所以当BC＞$\sqrt{7}$a时，x的取值范围是（3a，+∞）；
（2）同理由对任意正数x，BC＞1恒成立，得到a²+x²-2axcos$\frac{π}{3}$＞1恒成立，所以（x-$\frac{a}{2}$）²＞1-$\frac{3}{4}{a}^{2}$恒成立，因为（x-$\frac{a}{2}$）²≥0，所以只要1-$\frac{3}{4}{a}^{2}$＜0，解得a＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以对任意正数x，BC＞1恒成立，a的取值范围是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了解三角形，用到了余弦定理，一元二次不等式的解法和恒成立问题的处理．