Question

【题目】已知函数 ．
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）若f（x）在[0，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f'（x）= ，f（x）在定义域 （﹣1，+∞）

∴f'（x）在（﹣1，0）上为减函数，在 （0，+∞）上为增函数，

∴函数的减区间为（﹣1，0），增区间为（0，+∞）

（2）解：①当a≥1时，由于x∈[0，+∞），

∴ ，

所以满足f（x）在[0，+∞）上为单调增函数，即a≥1；

②当0＜a＜1时，f'（x）=aln（x+1）+ +ax﹣2，

f'（x）= ，由方程ax2+3ax+2a﹣2=0的判别式：

△=a2+8a＞0，所以方程有两根x1，x2，且由 ，

∴x1＜0＜x2，

∴f'（x）在[0，x2]上为减函数，由f'（0）=0可知，在x∈[0，x2]时，f'（x）＜0，

这与 f（x）在[0，+∞）上为单调增函数相矛盾．

③当a≤0时，∵ ，

∴f″（x）= ＜0，

∴f'（x）在[0，+∞）上为减函数，由f'（0）=0可知，

在x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，

这与 f（x）在[0，+∞）上为单调增函数也是相矛盾，

综上所述：实数a的取值范围是[0，+∞）

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而确定a的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．