Question

某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料，总费用不超过9万元，此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为500元/吨和200元/吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．　问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

Answer 1

分析：本题先找出约束条件与目标函数，即先设公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为x吨和y吨，总收益为z元，然后根据题意建立约束条件和目标函数，最后根据目标函数平移的方法解决最优解，从而得到结论．准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．

解答：解：设公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为x吨和y吨，总收益为z元，
由题意得

x+y≤300 500x+200y≤90000 x≥0，y≥0.

即

x+y≤300 5x+2y≤900 x≥0，y≥0.

目标函数为z=3000x+2000y．　 …（3分）
作出二元一次不等式组所表示的平面区域．如图所示…（6分）
（注：图象没画或不正确扣3分）
作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，
目标函数取得最大值．　 …（8分）
联立

x+y=300 5x+2y=900.

解得x=100，y=200．
∴点M的坐标为（100，200）．
∴z_max=3000x+2000y=700000（元）=70（万元）…（11分）
答：该公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为100吨和200吨，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．…（12分）

点评：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．