【题目】数列{an}定义为a1>0,a11=a,an+1=an+ an2 , n∈N*
(1)若a1= (a>0),求 + +…+ 的值;
(2)当a>0时,定义数列{bn},b1=ak(k≥12),bn+1=﹣1+ ,是否存在正整数i,j(i≤j),使得bi+bj=a+ a2+ ﹣1.如果存在,求出一组(i,j),如果不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:∵ ,
∴ ,
∴ ,
故 ,
∴ ;
(2)由 得 ,
两边平方得
故 ,
当b1=ak时,由 知 ,
又 ,数列{an}递增,
故b2=ak﹣1,
类似地,b3=ak﹣2,…,bt=ak﹣t+1,
又 , , ,
bi+bj=a10+a12,
∴ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12,
存在正整数i,j(i≤j),k﹣i+1=12,k﹣j+1=10i=k﹣11,j=k﹣9,
存在一组(i,j)=(k﹣11,k﹣9).
【解析】(1)化简递推公式利用裂项相消法求出数列的和。(2)由已知递推关系可得到=,而故代入可推出b2=ak﹣1,从而可得b3=ak﹣2,…,bt=ak﹣t+1,进而可得ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12 即得出结论。
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点,需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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【题目】已知n∈N* , Sn=(n+1)(n+2)…(n+n), .
(Ⅰ)求 S1 , S2 , S3 , T1 , T2 , T3;
(Ⅱ)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.
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【题目】如图,正四面体ABCD的顶点C在平面α内,且直线BC与平面α所成角为15°,顶点B在平面α上的射影为点O,当顶点A与点O的距离最大时,直线CD与平面α所成角的正弦值为 .
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【题目】已知数列{an}满足a2=1,|an+1﹣an|= ,若a2n+1>a2n﹣1 , a2n+2<a2n(n∈N+)则数列{(﹣1)nan}的前40项的和为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】将函数 的图象向右平移 个单位,再把所有的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,则图象y=g(x)的一个对称中心为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】来自某校一班和二班的共计9名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务,且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是 .
(1)求清扫卫生岗位恰好一班1人、二班2人的概率;
(2)设随机变量X为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数,求X分布列及期望.
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