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精英家教网如图所示,已知直线l:3x+4y-12=0与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,直线l1和AB,OA分别交于C,D,且平分△AOB的面积,求CD的最小值.
分析:先设设AD=m,AC=n,由三角形的面积得到mn的值,再表示出|CD|的表达式结合基本不等式的内容可求得线段CD长度的最小值.
解答:精英家教网解:令y=0,x=4.
∴A(4,0),令x=0,y=3,
∴B(0,3)S△AOB=
1
2
•4•3=6
,∴S△ACD=
1
2
S△AOB=3

设AD=m,AC=n,则sinA=
OB
AB
=
3
5
S△ACD=
1
2
mnsinA=3
,∴
1
2
mn
3
5
=3
,∴mn=10.CD2=m2+n2-2mncosA=m2+n2-2×10×
4
5

=m2+n2-16≥2mn-16=4.
∴CD≥2,当m=n=
10
时,CD有最小值为2.
点评:本题主要考查三角函数中余弦值的求法和余弦定理的应用、基本不等式的应用.考查基础知识的综合应用和灵活应用.三角函数题以基础为主,要强化其基础题得复习.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,已知直线l的斜率为k且过点Q(-3,0),抛物线C:y2=16x,直线与抛物线l有两个不同的交点,F是抛物线的焦点,点A(4,2)为抛物线内一定点,点P为抛物线上一动点.
(1)求|PA|+|PF|的最小值;
(2)求k的取值范围;
(3)若O为坐标原点,问是否存在点M,使过点M的动直线与抛物线交于B,C两点,且以BC为直径的圆恰过坐标原点,若存在,求出动点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,已知直线l:3x+4y-12=0与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,直线l1和线段AB,OA分别交于C,D且平分△AOB的面积.
(1)求△AOB的面积;
(2)求CD的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

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如图所示,已知直线l:3x+4y-12=0与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,直线l1和线段AB,OA分别交于C,D且平分△AOB的面积.
(1)求△AOB的面积;
(2)求CD的最小值.

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