Question

已知圆C₁：x²+y²-2x-2y-3=0，直线l经过点P（0，2）交圆C₁于A、B两点．
（Ⅰ）若|AB|=2

3

，求直线l的方程；
（Ⅱ）若经过点M（8，5）的圆C₂与圆C₁相切于点N（2，3），求圆C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把C₁化成标准方程，可得圆心坐标与半径，再分类讨论，利用垂径定理，结合弦长，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）求出直线l₁的方程，设E为线段MN的中点，求出MN的垂直平分线为l₂，利用圆C₂的圆心O₂既在直线l₁上，也在直线l₂上，求出圆心坐标，从而可得圆C₂的方程．

解答：解：（Ⅰ）把C₁化成标准方程可得：（x-1）²+（y-1）²=5，
则圆C₁的圆心O₁（1，1），半径r1=

5

．----------------------------（1分）
由直线l经过点P（0，2），设直线l的方程为y-2=kx，即kx-y+2=0，-----------------（2分）
过O₁作O₁D⊥AB，则D是AB的中点，所以DB=

1

2

AB=

3

，
在Rt△O₁DB中，O₁D=

DB2+O1B2

=

2

，---------------------------（3分）
所以O₁到直线l的距离d=

|k+1|

k2+1

=O₁D=

2

，∴k=1，此时直线l：y=x+2；----------------（5分）
当直线l的斜率不存在时，即直线l：x=0，此时A（0，3），B（0，-1），|AB|=4≠2

3

，不满足题意，--（6分）
故直线l的方程为：y=x+2．-----------------------------------------------------（7分）
（Ⅱ）因为圆C₂与圆C₁相切于点N（2，3），设经过O₁N的直线为l₁，则kl1=

3-1

2-1

=2，
所以直线l₁的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；-----------------（9分）
设E为线段MN的中点，由M（8，5），N（2，3）可得E（5，4）．
因为k_MN=

5-3

8-2

=

1

3

，设MN的垂直平分线为l₂，则kl2=-3，
所以直线l₂的方程为y-4=-3（x-5），即3x+y-19=0，------------------（11分）
由题意知，圆C₂的圆心O₂既在直线l₁上，也在直线l₂上，即O₂为两直线的交点，联立两直线方程得：

2x-y-1=0 3x+y-19=0

，∴

x=4 y=7

，即O₂（4，7），--------------------------------（13分）
又r22=(4-8)2+(7-5)2=20，所以圆C₂的方程为：（x-4）²+（y-7）²=20．----------------（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆，圆与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．