Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求线段AB的长；
（2）（文科做）若线段OA与线段OB互相垂直（其中O为坐标原点），求

1

a2

+

1

b2

的值；
（3）（理科做）若线段OA与线段OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[

1

2

，

2

2

]时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer 1

分析：（1）由e=

3

3

，2c=2，即

c

a

=

1

a

=

3

3

可求a，c结合a²=b²+c²可求ab，进而可求椭圆的方程，结合方程的根与系数的关系，利用弦长公式可求AB
（2）（文）设P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由OP⊥OQ?x ₁x ₂+y₁ y ₂=0即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，结合韦达定理可求
（3）（理）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

OA

⊥

OB

∴

OA

•

OB

=0，即x1x2+y1y2=0，联立方程由△＞0整理得a²+b²＞1结合方程的根与系数关系整理得：a²+b²-2a²b²=0，结合椭圆的性质b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式可求

解答：解：（1）∵e=

3

3

，2c=2，即

c

a

=

1

a

=

3

3

∴a=

3

，则b=

a2-c2

=

2

∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1…（2分）
联立

x2 3 + y2 2 =1 y=-x+1

消去y得：5x2-6x-3=0…（3分）设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1+x2=

6

5

，x1x2=-

3

5

∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[1+(-1)2]

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

…（7分）
（2）（文）设P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由OP⊥OQ?x ₁x ₂+y₁ y ₂=0
∵y₁=1-x₁，y₂=1-x₂，代入上式得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
又将y=1-x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1⇒（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，∵△＞0，
∴x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

代入①化简得 

1

a2

+

1

b2

=2…（14分）
（3）（理）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

OA

⊥

OB

∴

OA

•

OB

=0，即x1x2+y1y2=0
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0整理得a²+b²＞1…（8分）又x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1
∴x1x2+y1y2=0得：2x1x2-(x1+x2)+1=0∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
整理得：a²+b²-2a²b²=0∴b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式得2a2=1+

1

1-e2

，
∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)

∵ 1 2 ≤e≤ 2 2

，∴

1

4

≤e2≤

1

2

∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，
∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3
由此得

42

6

≤a≤

6

2

，
∴

42

3

≤2a≤

6

故长轴长的最大值为

6

．

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程及直线与椭圆的相交关系与方程的转化，解题中要注意方程的根与系数的关系得灵活应用．