Question

【题目】直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．

（1）求与满足的关系；

（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，

【解析】

(1)设点A,B联立直线方程和双曲线方程消元化简:

,然后利用韦达定理结合向量垂直即,可求得和满足的关系;

(2)利用点到直线的距离公式求出距离表达式再利用(1)的结论即可证明距离是定值;利用弦长公式以及韦达定理表示出弦长表达式,然后利用换元配方求解最小值.

（1）设点A,B,联立消得,

∴,

由得

代入化简可得和满足的关系为:;

（2）由点到直线的距离公式可得:,由(1)得

代入可解得为定值;

由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:

,令(t≤3)

化简可得,

由t≤3可得当,t=3时.