Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PE中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求EA和平面ABCD所成的角；
（Ⅳ）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BD∩AC=O，则由题意可得OE为△PBD的中位线，故有OE∥PB，根据直线和平面平行的判定定理证得PB∥平面AEC．
（Ⅱ）证明PA⊥CD，且AD⊥CD，证得CD⊥平面PAD．再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅲ）取AD得中点H，证得∠EAH为EA和平面ABCD所成的角．由条件求得tan∠EAH=$\frac{EH}{AH}$=1，可得∠EAH 的值．
（Ⅳ）作HM⊥AC，M为垂足，可得∠EMH为二面角E-AC-D的平面角．再根据tan∠EMH=$\frac{EH}{HM}$，计算求的结果．

解答 解：（Ⅰ）证明：设BD∩AC=O，则由四边形ABCD为正方形，可得O为BD的中点，
再根据E为PE中点，可得OE为△PBD的中位线，故有OE∥PB．
而OE?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又正方形ABCD中，AD⊥CD，
且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
再根据CD?平面PCD，可得平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅲ）取AD得中点H，则EH是△PAD的中位线，故有EH∥PA．
由PA⊥平面ABCD 可得EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为EA和平面ABCD所成的角．
由PA=AB=2，可得EH=1，AH=1，∴tan∠EAH=$\frac{EH}{AH}$=1，∴∠EAH=$\frac{π}{4}$，
即EA和平面ABCD所成的角为$\frac{π}{4}$．
（Ⅳ）作HM⊥AC，M为垂足，由三垂线定理可得EM⊥AC，∠EMH为二面角E-AC-D的平面角．
由于HM=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴tan∠EMH=$\frac{EH}{HM}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理，直线和平面所成的角、二面角的定义和求法，属于中档题．