分析 (Ⅰ)设BD∩AC=O,则由题意可得OE为△PBD的中位线,故有OE∥PB,根据直线和平面平行的判定定理证得PB∥平面AEC.
(Ⅱ)证明PA⊥CD,且AD⊥CD,证得CD⊥平面PAD.再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面PCD⊥平面PAD.
(Ⅲ)取AD得中点H,证得∠EAH为EA和平面ABCD所成的角.由条件求得tan∠EAH=$\frac{EH}{AH}$=1,可得∠EAH 的值.
(Ⅳ)作HM⊥AC,M为垂足,可得∠EMH为二面角E-AC-D的平面角.再根据tan∠EMH=$\frac{EH}{HM}$,计算求的结果.
解答 解:(Ⅰ)证明:设BD∩AC=O,则由四边形ABCD为正方形,可得O为BD的中点,
再根据E为PE中点,可得OE为△PBD的中位线,故有OE∥PB.
而OE?平面AEC,PB?平面AEC,∴PB∥平面AEC.
(Ⅱ)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,又正方形ABCD中,AD⊥CD,
且PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
再根据CD?平面PCD,可得平面PCD⊥平面PAD.
(Ⅲ)取AD得中点H,则EH是△PAD的中位线,故有EH∥PA.
由PA⊥平面ABCD 可得EH⊥平面ABCD,∴∠EAH为EA和平面ABCD所成的角.
由PA=AB=2,可得EH=1,AH=1,∴tan∠EAH=$\frac{EH}{AH}$=1,∴∠EAH=$\frac{π}{4}$,
即EA和平面ABCD所成的角为$\frac{π}{4}$.
(Ⅳ)作HM⊥AC,M为垂足,由三垂线定理可得EM⊥AC,∠EMH为二面角E-AC-D的平面角.
由于HM=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴tan∠EMH=$\frac{EH}{HM}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$.
点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理,平面和平面垂直的判定定理,直线和平面所成的角、二面角的定义和求法,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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