Question

【题目】如图1，平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠DAB=60°，M是BC的中点．将△ADM沿DM折起，使面ADM⊥面MBCD，N是CD的中点，图2所示．

（Ⅰ）求证：CM⊥平面ADM；
（Ⅱ）若P是棱AB上的动点，当 为何值时，二面角P﹣MC﹣B的大小为60°．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接OA，ON，因为AB=2AD，∠DAB=60°，M是BC的中点，
∴△ADM是正三角形，取DM的中点O，则AO⊥DM，
∵面ADM⊥面MBCD，∴AO⊥平面MBCD，
∵MC平面MBCD，∴AO⊥MC，
连接ON，△DMN为正三角形，
O是MD中点，ON⊥DM，ON为△DMC的中位线，
∴ON∥MC，故MC⊥DM，AO∩DM=O
∴CM⊥平面ADM
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AO⊥DM，ON⊥DM，
以O为坐标原点，以OM，ON，OA方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，
不妨设AB=2AD=2，
则 ，B（1， ，0），M（ ，0，0），C（ ），
则 =（1， ，﹣ ），
设 =（ ，﹣ ），（0＜λ＜1），
得 =（ ， ， ）， =（0， ，0），
设 =（x，y，z）为平面MCP的一个法向量，则有 =0， =0，
即 ，令x=1，得，
∴ =（1，0， ），
由意 =（0，0，1）为平面BMC的一个法向量，
∵二面角P﹣MC﹣B的大小为60°，
∴cos60°= = = ，
解得 ，
当 时，二面角P﹣MC﹣B的大小为60°．

【解析】（Ⅰ）连接OA，ON，推导出AO⊥DM，AO⊥平面MBCD，AO⊥MC，连接ON推导出ON∥MC，由此能证明CM⊥平面ADM．（Ⅱ）以O为坐标原点，以OM，ON，OA方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出当 时，二面角P﹣MC﹣B的大小为60°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．