Question

5．由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x₁，x₂，…x_n，y₁，y₂，…y_n，构成n个数对（x₁，y₁），（x₂y₂），…（x_n，y_n）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为$\frac{4m}{n}+2$．

Answer 1

分析 利用n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足$\left\{\begin{array}{l}0＜x＜1\\ 0＜y＜1\end{array}\right.$，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}＜1\\ x+y＞1\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}0＜x＜1\\ 0＜y＜1\end{array}\right.$，面积为$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$，结合面积比，即可得出结论．

解答 解：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足$\left\{\begin{array}{l}0＜x＜1\\ 0＜y＜1\end{array}\right.$，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}＜1\\ x+y＞1\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}0＜x＜1\\ 0＜y＜1\end{array}\right.$
面积为$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$，所以$\frac{m}{n}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$，得π=$\frac{4m}{n}+2$．
故答案为$\frac{4m}{n}+2$．

点评 本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．