【题目】在锐角△ABC中,sinA=sinBsinC,则tanB+2tanC的最小值是 .
【答案】3+2
【解析】解:锐角△ABC中,sinA=sinBsinC, ∴sin(B+C)=sinBsinC,
即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC,
∴cosBsinC=sinB(sinC﹣cosC),
∴sinC= (sinC﹣cosC),
两边都除以cosC,得tanC=tanB(tanC﹣1),
∴tanB= ;
又tanB>0,∴tanC﹣1>0,
∴tanB+2tanC= +2tanC
= +2tanC
=1+ +2(tanC﹣1)+2≥3+2 =3+2 ,
当且仅当 =2(tanC﹣1),即tanC=1+ 时取“=”;
∴tanB+2tanC的最小值是3+2 .
故答案为:3+2 .
根据sinA=sinBsinC,得出sin(B+C)=sinBsinC,从而求出tanC、tanB的关系,代入tanB+2tanC中,利用基本不等式求出它的最小值.
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【题目】已知向量 =(2cosx, sinx), =(3cosx,﹣2cosx),设函数f(x)=
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0, ],求f(x)的值域.
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【题目】已知函数f(x)=x3+x﹣16,
(1)求曲线y=f(x)在点(2,﹣6)处的切线的方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=﹣ x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
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【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,M,N,P分别为AB,A1C1 , BC的中点.
求证:
(1)C1P∥平面MNC;
(2)平面MNC⊥平面ABB1A1 .
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【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn},其中{an}的公差不为0.设Sn是数列{an}的前n项和.若a1 , a2 , a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{ }为等差数列,求实数t;
(3)构造数列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若该数列前n项和Tn=1821,求n的值.
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【题目】已知二次函数y=f(x)的图象过坐标原点,其导函数f′(x)=6x﹣2,数列{an}前n项和为Sn , 点(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,Tn是数列{bn}的前n项和,求当 对所有n∈N*都成立m取值范围.
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【题目】如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库,设AB=ykm,并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF(其中EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°..
(1)求y关于x的函数解析式,并求出定义域;
(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问:x取何值时,该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论;
(3)求DB与平面DEF所成角的正弦值.
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【题目】已知△ABC的周长为l,面积为S,则△ABC的内切圆半径为r= .将此结论类比到空间,已知四面体ABCD的表面积为S,体积为V,则四面体ABCD的内切球的半径R= .
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