Question

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1) a₁=S₁=="0," a₃=2
(2) a_n=n－1
(3) 存在唯一正整数数 对(p，q)=(2，3)，使b₁，b_p，b_q成等比数列

试题分析：解：(1)令n=1，则a₁=S₁==0．      2分；         a₃=2；   3分
（2）由，即，  ①     得 ．  ②
②－①，得 ．                    ③         5分
于是，．                           ④
③+④，得，即．             7分
又a₁=0，a₂=1，a₂－a₁=1，        
所以，数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，a_n=n－1．                                            9分
法二②－①，得 ．                   ③     5分
于是，                 7分
       所以，a_n=n－1．                           9分
(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b₁，b_p，b_q成等比数列，
则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，                               10分
于是，．                                         11分
所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．     12分
当p≥3，且p∈N*时，<0，
故数列{}(p≥3)为递减数列                                      14分
于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．              15分
综上，存在唯一正整数数 对(p，q)=(2，3)，使b₁，b_p，b_q成等比数列．    16分
点评：解决的关键是根据等差数列和等比数列的性质以及定义来求解运用。属于基础题。