【题目】已知数列的各项均为正数,前项和为,首项为2.若对任意的正整数,恒成立.
(1)求,,;
(2)求证:是等比数列;
(3)设数列满足,若数列,,…,(,)为等差数列,求的最大值.
【答案】(1),,;(2)详见解析;(3)3.
【解析】
(1)由题意利用赋值法,对m,n进行赋值,可得a2,a3,a4;
(2)取m=1,得,取m=2,得.两式相除,得,(n∈N*).结合,可得{Sn+2}是首项为4,公比为2的等比数列,求得.进一步求得.利用定义证得{an}是等比数列;
(3)由(2)知,,设,,成等差数列,则.
得到,分t=r+1和t=r+2两类分析得答案.
(1)由,对任意的正整数,恒成立
取,得,
即,得.
取,,得,
取,,得,
解得,.
(2)取,得,
取,得,
两式相除,得,即,即 .
由于,所以对任意均成立,
所以是首项为4,公比为2的等比数列,
所以,即.
时,,
而也符合上式,所以 .
因为(常数),所以是等比数列.
(3)由(2)知,.
设,,成等差数列,则.
即,
整理得,.
若,则,
因为,所以只能为2或4,所以只能为1或2.
若,则.
因为,故矛盾.
综上,只能是,,,成等差数列或,,成等差数列,其中为奇数.
所以的最大值为3.
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【题目】在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,是边长为4的等边三角形,,是的中点.
(1)求证:;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况,则下列说法错误的是( )
A. 2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加
B. 2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍
C. 2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍
D. 2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一
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【题目】已知圆,直线的方程为,点是直线上一动点,过点作圆的切线、,切点为、.
(1)当的横坐标为时,求的大小;
(2)求四边形面积的最小值;
(3)求证:经过、、三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
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【题目】下列说法中正确的序号是____________(写出所有正确命题的序号)
(1)“为实数”是“为有理数”的充分不必要条件;
(2)“”是“”的充要条件
(3)“”是“”的必要不充分条件;
(4)“,”是“”的充分不必要条件;
(5)的三个内角为.“”是“”的充要条件
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【题目】已知椭圆经过点,且离心率为.
(1)设过点的直线与椭圆相交于、两点,若的中点恰好为点,求该直线的方程;
(2)过右焦点的直线(与轴不重合)与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求实数的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为(且).
(I)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知是直线上的一点,是曲线上的一点, ,,若的最大值为2,求的值.
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【题目】如图,矩形ABCD中,,,E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,,,是线段CF的四等分点,分别以HF,EG为x,y轴建立直角坐标系,设ER与ER与分别交于,,ES与ES与交于,,ET与交于点N,则下列关于点,,,,N与两个椭圆::,:的位置关系叙述正确的是( )
A.三点,,Nspan>在,点在上B.,不在上,,N在上
C.点在上,点,,均不在上D.,在上,,均不在上
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