【题目】已知函数,其中实数
.
(1)若,求函数
在
上的最值;
(2)若,讨论函数
的单调性.
【答案】(1)最大值是5-2ln5,最小值为2﹣2ln2;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出,
得增区间,
得减区间,从而求出函数在闭区间上的最值即可;(2)求出函数的导数,通过讨论
的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间即可.
试题解析:(1)∵f(x)=x﹣2lnx,∴f′(x)=,令f′(x)=0,∴x=2.列表如下,
x | 1 | (1,2) | 2 | (2,5) | 5 |
f'(x) | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | 1 | ↘ | 2﹣2ln2 | ↗ | 5﹣2ln5 |
从上表可知,∵f(5)﹣f(1)=4﹣2ln5>0,∴f(5)>f(1),
函数f(x)在区间[1,3]上的最大值是5-2ln5,最小值为2﹣2ln2;
(2)f′(x)=1+ - ==,
①当a>2时,x∈(0,2)∪(a,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(2,a)时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调增区间为(0,2),(a,+∞),单调减区间为(2,a);
②当a=2时,∵f′(x)= >0(x≠2),∴f(x)的单调增区间为(0,+∞);
③当0<a<2时,x∈(0,a)∪(2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(a,2)时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调增区间为(0,a),(2,+∞),单调减区间为(a,2);
综上,当a>2时,f(x)的单调增区间为(0,2),(a,+∞),单调减区间为(2,a);
当a=2时,f(x)的单调增区间为(0,+∞);
当0<a<2时,f(x)的单调增区间为(0,a),(2,+∞),单调减区间为(a,2).
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数
的定义域;②对
求导;③令
,解不等式得
的范围就是递增区间;令
,解不等式得
的范围就是递减区间;④根据单调性求函数
的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).
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【题目】已知函数 (
为自然对数的底数,
),
(
,
),
⑴若,
.求
在
上的最大值
的表达式;
⑵若时,方程
在
上恰有两个相异实根,求实根
的取值范围;
⑶若,
,求使
得图像恒在
图像上方的最大正整数
.
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【题目】如图,四边形是边长为4的正方形,点
为
边上任意一点(与点
不重合),连接
,过点
作
交
于点
,且
,过点
作
,交
于点
,连接
,设
.
(1)求点的坐标(用含
的代数式表示)
(2)试判断线段的长度是否随点
的位置的变化而改变?并说明理由.
(3)当为何值时,四边形
的面积最小.
(4)在轴正半轴上存在点
,使得
是等腰三角形,请直接写出不少于4个符合条件的点
的坐标(用含
的式子表示)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.且曲线
的左焦点
在直线
上.
(1)若直线与曲线
交于
两点,求
的值;
(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
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【题目】某地区预计从2015年初开始的第月,商品
的价格
(
,
,价格单位:元),且第
月该商品的销售量
(单位:万件).
(1)商品在2015年的最低价格是多少?
(2)2015年的哪一个月的销售收入最少,最少是多少?
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【题目】吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为
)进行统计.按照
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是分以上(含
分)的同学中随机抽取
名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的
名同学中得分在
的学生人数恰有一人的概率.
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【题目】已知函数为正常数.
⑴若,且
,求函数
的单调增区间;
⑵在⑴中当时,函数
的图象上任意不同的两点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
,试证明:
.
⑶若,且对任意的
,
,都有
,求
的取值范围.
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【题目】小明和爸爸周末到湿地公园进行锻炼,两人上午9:00从公园入口出发,沿相同路线匀速运动,小明15分钟后到达目的地,此时爸爸离出发地的路程为1200米,小明到达目的地后立即按原路匀速返回,与爸爸相遇后,和爸爸一起从原路返回出发地.小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程与小明出发的时间的函数关系如图.
(1)图中________,
_______;
(2)求小明和爸爸相遇的时刻.
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