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【题目】某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:

办理业务所需的时间(分)

1

2

3

4

5

频率

0.1

0.4

0.3

0.1

0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.

【答案】
(1)解:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布如下:

Y

1

2

3

4

5

P

0.1

0.4

0.3

0.1

0.1

A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:

①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.

所以 P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22


(2)解:X所有可能的取值为:0,1,2.

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;

X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=0.1×0.1=0.01;

所以X的分布列为

X

0

1

2

P

0.5

0.49

0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.


【解析】(1)设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,可得Y的分布列,A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟,由此可求概率;(2)确定X所有可能的取值,求出相应的概率,即可得到X的分布列及数学期望.
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列,需要了解在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列才能得出正确答案.

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