Question

已知a>0，函数f(x)=ax－bx²,

（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；

（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b－1≤a≤2；

（3）当0≤1时，讨论：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件。

 

Answer 1

（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=－b(x－)²+，

∴f()= ≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2。

    （2）证：（必要性），对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1－1≤f(x)据此可推出－1≤f(1)即a－b≥－1，∴a≥b－1。对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b>1，

可推出f()≤1。即a?－≤1，∴a≤2，所以b－1≤a≤2。

    （充分性）：因b>1, a≥b－1，对任意x∈[0, 1]，

可以推出：ax－bx²≥b(x－x²)－x≥－x≥－1，即：ax－bx²≥－1；因为b>1，a≤2，对任意x∈[0, 1]，可推出ax－bx²≤2－bx²≤1，即ax－bx²≤1，∴－1≤f(x)≤1。

综上，当b>1时，对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b－1≤a≤2。

（3）解：因为a>0, 0≤1时，对任意x∈[0, 1]。

f(x)=ax－bx²≥－b≥－1，即f(x)≥－1；

f(x)≤1f(1)≤1a－b≤1，即a≤b+1；

a≤b+1f(x)≤(b+1)x－bx²≤1，即f(x)≤1。

所以，当a>0, 0≤1时，对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1的充要条件是：a≤b+1.