Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}，}&{x≤0}\\{\sqrt{x}，}&{x＞0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-x-k有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由题意可转化为函数f（x）=与函数y=x+k的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可．

解答 解：函数g（x）=f（x）-x-k有且仅有两个零点，
∴y=f（x）与y=x+k的图象的图象有且仅有两个交点，
分别画出y=f（x）与y=x+k的图象的图象，如图所示
当b=0时，有一个交点，是一个临界值，
当直线y=x+k与f（x）=$\sqrt{x}$相切时，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$=1；
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
故切点为（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
故b=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$；
结合图象可得，k∈（0，$\frac{1}{4}$）
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了导数的应用，函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用等，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题